지수, 로그와 그 함수

수능직전 폴수학1 요점정리

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―  ―

1.  ① [eqn: a^m a^n = a^m+n]	② [eqn: a^m over a^n = a^m-n]

③ [eqn: (a^m )^n = a^mn]	④ [eqn: ""^m sqrt{a^n}``=`a^{n over m}]

⑤ [eqn: a^n``]과 [eqn: a^-n ``]은 서로 역수

⑥ [eqn: `^n sqrt a `^n sqrt b =^n sqrt {a b} ,~{`^n sqrt a } over {`^n sqrt b }=^n sqrt {a over b}]

⑦ [eqn: `^m sqrt{`^n sqrt {a`}` }= `^mn sqrt {a }=^n sqrt{`^m sqrt{ a`}` }]

2.  [eqn: a^n +a^-n `=`t ~~~(a`＞0 ``]이면 [eqn: t``≧ 2`])

➞[eqn: a^2n +a^-2n `=`t`^2 -2]

➞[eqn: a^3n +a^-3n `=`t`^3 -3t]

※ [eqn: 2^x =t`]로 치환하면 [eqn: t``＞0`]이다.

★ [eqn: 3^x +3^-x `=`t`]

➞[eqn: 9^x +9^-x `=`t`^2 -2] ([eqn: t`≧ 2`])

(문) [eqn: 4 (4^x + 4^-x )-12(2^x + 2^-x ) +13=0]

★ [eqn: x^3 +y^3 `=`(x+y`)(x^2 -xy+y^2` )]

[eqn: x^3 -y^3 `=`(x-y`)(x^2 +xy+y^2` )]

➞[eqn: {a^3x +a^-3x} over {a^x +a^-x} `=` {a^2x - 1+a^-2x}]

3.  ① [eqn: a^{log_a` b} `= b]

② [eqn: log_{a^m} `````b^n = {n over m} log_a` b]

➞[eqn: log_a` b `= log_{a^n} `````b^n]

③ [eqn: log_x`` `y`` = `{log_a y} over {log_a x}`= `{log y} over {log x}]

★[eqn: log_x`` `y`` = `X] ➞ [eqn: log_y`` `x`` = `1 over X]

★[eqn: log_α` `β` +`log_β```α`]

[eqn: = {LEFT ( log`α` +log`β`RIGHT )^2 -2log`α`log`β`} over {log`α`log`β`}]

④ [eqn: a^{log`x} = x^{log`a}]

➞[eqn: 3^{log`x} = x^{log`3}``＞`0]

⑤ [eqn: log_a M + log_a N``=``log_a MN]

[eqn: log_a M - log_a N``=``log_a M over N]

※[eqn: -log_a M ``=``log_a 1 over M]

4.	[eqn: log_a`` x``]가 의미를 가질 조건 ([eqn: log_a`` x] 가 실수)

➞ 밑:[eqn: a`＞0,``a≠1,``]  진수:[eqn: ``x`＞0`]

※ 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여,  이차식 [eqn: ax^2 +bx+c `＞0]

➞ [eqn: a`＞0,~D=b^2 -4ac`＜`0]

5.  로그의 부호

[eqn: log_x`` `y``] ➞ 밑과 진수가 같은 동네면 양수

밑과 진수가 다른 동네면 음수

6.  [eqn: p` ``＜`log_a`` `x```＜``q]

➞[eqn: a`^p` ``＜`x```＜``a`^q]  [eqn: (a`＞1)]

➞[eqn: a`^p` ``＞ `x```＞``a`^q]  [eqn: (0`＜a`＜1)]

※부등호가 한쪽에만 있어도 가능하나

진수[eqn: ＞`0``]주의 !

7.  정수의 개수

[eqn: a``≦`x``＜`b# a`＜``x``≦`b]   ➞ [eqn: b-a``]개

[eqn: bold0≦가수`＜1]

8.  상용로그의 값 = 지표 + 가수

[eqn: (n)`````````(α)]

※ [eqn: log` x``=-3.8=-3-0.8=-4+0.2]

9. [eqn: [log` x`]```⇒`][eqn: log` x``]의 지표(정수부분)

①[eqn: [logM]=``k``````(k`＞0)]

➞[eqn: k``≦ logM``＜` k+1]

➞[eqn: 10^k ``≦ M ``＜`10^k+1]

➞[eqn: M``]의 정수 부분은 [eqn: k+1`]자리

②[eqn: [logM]=`-k``````(k`＞0)]

➞[eqn: -k`` ≦ logM``＜`-k+1]

➞[eqn: 10^-k ``≦ M ``＜`10^-k+1`]

➞[eqn: M``]은 소수 [eqn: k`]번째 자리에서

처음으로 [eqn: 0`]이 아닌 숫자가 나타남

10. [eqn: 7^100``]이 85자리수

➞[eqn: log 7^100``=84.××××] (지표가 [eqn: 84])

➞ [eqn: 84 ``≦ log 7^100 ``＜`85]

11. 가수가 같다

➞ ‘차’가 정수다

(예)[eqn: 10<x<100]이고 [eqn: logx``]의 가수와 [eqn: logx^3`]의          가수가 같을 때, [eqn: x`]의 값

➞ [eqn: log x^3 - logx = 2logx] 는 정수

[eqn: 2 `＜ 2logx`＜4]이므로 [eqn: 2 logx = 3]

[eqn: logx = 3 over 2`]에서 [eqn: x=10sqrt10]

12. 상용로그표 계산

수	4	5	6	7	8
1.0 1.1 2.0	.0170 .0569 .3096	.0212 .0607 .3118	.0253 .0645 .3139	.0294 .0682 .3160	.0334 .0719 .3181

	비례부분
	2	3	4	5	6
1.0 1.1	8 8	12 11	17 15	21 19	25 23

(예) [eqn: log`1.164``=0.0645]

[eqn: +15`=`0.0660]

(예) [eqn: log`x``=0.0630] ➞ [eqn: x=1.156]

(문) 우리나라 사회간접자본(SOC) 투자 비율을 [eqn: 2008]년도부터 전년도대비 매년 [eqn: 7%]씩을 증가시키려고 한다. [eqn: 2007]년도 투자액의 두 배를 넘는 것은 몇 년 후부터일까?                        (➞[eqn: 11]년 후부터)

13. [eqn: y=a^x]  (단, [eqn: a]는 [eqn: 1]이 아닌 양수)

[eqn: O]

[eqn: O]

[eqn: 0＜a＜1]

[eqn: a`＞1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: a`＞1]일 때 : [eqn: a^M `＜ a^N]  ⇔ [eqn: M`＜N]

[eqn: 0`＜`a`＜`1]일 때 : [eqn: a^M ``＞ a^N]  ⇔ [eqn: M`＜N]

14. [eqn: y=log_a x]  (단, [eqn: a]는 [eqn: 1]이 아닌 양수)

[eqn: O]

[eqn: 0`＜`a`＜`1]

[eqn: O]

[eqn: a`＞1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: a`＞1]일 때 : [eqn: log_a M `＜` log_a N]  ⇔ [eqn: M`＜`N]

[eqn: 0`＜`a`＜`1]일 때 : [eqn: log_a M ``＞ log_a N]  ⇔ [eqn: M`＜`N]

★ [eqn: log_{1 over 2} ```f`(x)] ➞ [eqn: f`(x)`]가 최대일 때, 최소값

[eqn: f`(x)`]가 최소일 때, 최대값

★ 두 수가 양수일 때,

[eqn: 두`` 수의`` 합 `≧`` 2sqrt {두``수의``곱}]

두 수가 같다

★ 합이 일정할 때, 곱은 최대

곱이 일정할 때, 합은 최소

15. [eqn: y=a^x`]와 [eqn: y=log_a x``]는 서로 역함수

★ 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: (f∘g)`(x)=x`]

➞ [eqn: f`(x)`]와 [eqn: g`(x)`]는 서로 역함수

★ [eqn: f`^-1 `(4)=k`] ➞ [eqn: f` `(k)=4`]

16. [eqn: y=f` `(x)`]의 대칭이동

① [eqn: x`]축 대칭 : [eqn: y=-f` `(x)`]

② [eqn: y`]축 대칭 : [eqn: y=f` `(-x)`]

③  원점 대칭 : [eqn: y=-f` `(-x)`]

④ [eqn: y=x`]에 대칭 : [eqn: x`]대신 [eqn: y`], [eqn: y`]대신 [eqn: x`]대입 후

[eqn: y=CDOTS`]꼴로 정리 (➞역함수)

17. 절대값기호가 붙은 식의 그래프

① [eqn: |`x`|] : [eqn: x`＞`0`]부분만 그린 뒤 [eqn: y`]축 대칭 추가

② [eqn: |`y`|] : [eqn: y`＞`0`]부분만 그린 뒤 [eqn: x`]축 대칭 추가

③ [eqn: |`x`|], [eqn: |`y`|] : [eqn: x`＞`0`], [eqn: y`＞`0`]부분만 그린 뒤

[eqn: x`]축 대칭 추가 후 전체 [eqn: y`]축 대칭 추가

18. 근이 [eqn: α,```β`]이면

➞[eqn: X=a^x `= a^α ,```a^β`]

➞[eqn: X=log_a``x `= log_a``α ,```log_a``β`]

19. 지수에 [eqn: log`]가 온 방정식, 부등식, 함수문제

➞ 양변에 [eqn: log`]를 취하여 풀되, 지수에 온 [eqn: log`]와

밑이 같은 [eqn: log`]를 취한다.

(부등식은 부등호 방향 주의)

※ [eqn: 3^{log`x} = x^{log`3}``＞`0]

20. ① 임의의 실수 [eqn: f`(x)×f`(y)= f`(x+y)]

➞[eqn: f`(x)=a^x]

② 임의의 양수 [eqn: f`(xy)=f`(x)+f`(y)]

➞[eqn: f`(x)=log_a```x]

(예)  임의의 양수 [eqn: x], [eqn: y] 에 대하여  등식

[eqn: f(xy)=f(x)+f(y)]가 성립할 때,

➞[eqn: f`(1)=0], [eqn: f`(9)=2`f`(3)],

[eqn: f `left( 1 over x right) = - f`(x)]

[eqn: y= 1over2 x]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: O]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: log_2 y]

[eqn: log_2 x]

[eqn: O]

21.

22. [eqn: log x + log y = log 2(x+y)]를 만족하는

정수의 순서쌍 [eqn: (x,```y)`]의 개수     (➞[eqn: 3]개)

행렬

23. 케일리-해밀턴(Cayley-Hamilton) 정리

행렬 [eqn: A = pmatrix{{a}&{b}``#{c}&{d}``}]

[eqn: A^2 - (주대각선의~합)A + DE=O]

①

★ if [eqn: D=0`]  ([eqn: A^-1`]이 존재하지 않으면)

➞ [eqn: A^2 =(주대각선의 ~합)`A]

※ [eqn: A^2 =k`A`]이면 [eqn: A^n =k^n-1`A`]

[eqn: A^2 - (주대각선의~합)A + DE=O]

②

[eqn: 0]

➞ [eqn: A^2 =-DE]

[eqn: A^2 - (주대각선의~합)A + DE=O]

③

[eqn: 1`]

[eqn: 1``` or`` -1]

[eqn: A+A^-1 =-E]

★ [eqn: A^2 +A+E=O] ➞ [eqn: A^3 =E]

➞ [eqn: A^n +A^n+1 +A^n+2 `=O]

★ [eqn: A^2 -A+E=O] ➞ [eqn: A^3 =-E]

[eqn: A+A^-1 =E]

24.[eqn: {pmatrix{{a}&{0}`#{0}&{b}``}}^n = pmatrix{{a^n}&{0}``#{0}&{b^n}``}]

[eqn: {pmatrix{{1}&{a}`#{0}&{1}`}}^n ={pmatrix{{1}&{an}`#{0}&{1}`}}]

[eqn: {pmatrix{{1}&{0}`#{a}&{1}`}}^n ={pmatrix{{1}&{0}`#{an}&{1}`}}]

25. [eqn: AB` not= BA]

①[eqn: (A+B)^2 not= A^2 + 2AB + B^2]

[eqn: = A^2 + AB + BA + B^2]

➞[eqn: (A+E`)^2 = A^2 + 2A + E]

★[eqn: A^2 + B^2 =(A+B`)^2 -LEFT (AB + BA RIGHT )]

[eqn: (A+B`)^2 =(A-B`)^2 + 2(AB + BA)]

②[eqn: (A+B)(A-B) not= A^2 - B^2]

➞[eqn: (A+E)(A-E) = A^2 - E]

③[eqn: (AB)^2 not= A^2 B^2]

※ [eqn: (AB)^2 = A^2 B^2`] ⇏ [eqn: AB=BA]

26. ①[eqn: AB=O]  ⇏ [eqn: A=O] 또는 [eqn: B=O]

※ [eqn: (A+B)(A-B)=O]

⇏ [eqn: A=-B `````or````A=B]

②[eqn: A^2 = O]  ⇏ [eqn: A=O]

※ [eqn: (A-X`)^2 =O]  ⇏ [eqn: A=X]

③[eqn: AC=BC`]이고 [eqn: C not= O]  ⇏ [eqn: A=B]

[eqn: AB=A`]  ⇏ [eqn: B=E]

27. [eqn: A=pmatrix{{a}&{b}``#{c}&{d}``}] ➞ [eqn: A^-1 = 1 over D pmatrix{~~{d}&{-b}``#{-c}&~~{a}``}]

★ 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: ax^2 +bx+c `not=`0`]

➞ [eqn: b^2 -4ac`＜`0]

28. ①[eqn: (AB`)^-1 =B^-1 A^-1]

②[eqn: (kA)^-1 = 1 over k A^-1]

③[eqn: (A^-1 )^-1 = A]

④[eqn: (A^n )^-1 = (A^-1 )^n]

⑤[eqn: (PA P^-1 )^n = P A^n P^-1]

29. ■▲[eqn: = E]  ➞ ■와 ▲는 서로 역행렬

※ [eqn: A^2 =O~ ⇒~E-A^2 =E~]

[eqn: ⇒~(E-A)(E+A)=E]

30. [eqn: A`]와 [eqn: A^-1`]가 포함된 등식

➞ 양변에 [eqn: A`]를 곱한다.

★ [eqn: A=A^-1] ➞ [eqn: A^2 =E]

31.[eqn: {pmatrix{{a}&{b}`#{c}&{d}``}}{pmatrix{{p}`#{q}``}} = pmatrix{{α}``#{β}``}]  &

[eqn: {pmatrix{{a}&{b}`#{c}&{d}``}}{pmatrix{{r}`#{s}``}} = pmatrix{{γ}``#{δ}``}]

➞ [eqn: {pmatrix{{a}&{b}`#{c}&{d}``}}{pmatrix{{p+r}`#{q+s}``}} = pmatrix{{α+γ}``#{β+δ}``}]

➞ [eqn: {pmatrix{{a}&{b}`#{c}&{d}``}}{pmatrix{{p}&{r}`#{q}&{s}``}} = pmatrix{{α}&{γ}``#{β}&{δ}``}]

32. [eqn: A^-1`]존재여부 판단

①[eqn: D not= 0] 이면 존재

②[eqn: AB=kE`]꼴이면 존재

③[eqn: A^-1`]가 존재한다고 가정

[eqn: ⇒]주어진 조건에 모순 [eqn: ⇒] [eqn: A^-1`]

33. [eqn: cases {ax +by=p # cx +dy=q}]  ⇔ [eqn: PMATRIX { { a}& {b }` # {c }& {d }``}][eqn: PMATRIX { { x}`# {y }`}]=[eqn: PMATRIX { { p}`# {q }`}]

①[eqn: ad-bc not= 0`]일 때,

[eqn: pmatrix{x ``#y``} = {pmatrix{a~~b``#c~~d``}}^-1 pmatrix{p``#q``}]로 한 쌍의 해

②[eqn: ad-bc=0`]일 때,

▪[eqn: a over c = b over d = p over q]이면 무수히 많은 해.

▪[eqn: a over c = b over d not= p over q]이면 해를 갖지 않는다.

34. [eqn: pmatrix{{a}&{b}``#{c}&{d}``}pmatrix{{x}``#{y}``} = pmatrix{{0}``#{0}``}]가

[eqn: x=y=0`]이외의 해를 가질 조건

➞ [eqn: D=ad-bc=0]

※ [eqn: pmatrix{{a}&{b}``#{c}&{d}``}pmatrix{{log`x}``#{log`y}``} = pmatrix{{0}``#{0}``}]가

[eqn: x=y=1`]이외의 해를 가질 조건

➞ [eqn: D=ad-bc=0]

35. [eqn: {pmatrix{{cosθ}&{-sinθ}``#{sinθ}&{cosθ}``}}^n ={pmatrix{{cos`nθ}&{-sin`nθ}``#{sin`nθ}&{cos`nθ}``}}]

※[eqn: {pmatrix{{cosθ}&{-sinθ}``#{sinθ}&{cosθ}``}}^-1 ={pmatrix{{cosθ}&{sinθ}``#{-sinθ}&{cosθ}``}}]

36.  [eqn: sin^2 θ+cos^2 θ=1]

[eqn: LEFT (sin θ+cos θ` RIGHT )^2 =1+2sin θcos θ]

[eqn: LEFT (sin θ-cos θ` RIGHT )^2 =1-2sin θcos θ]

[eqn: sinθ over cosθ =tanθ]

[eqn: 1+tan^2 θ=sec^2 θ]

수열

37.  등차수열 [eqn: a_n =]■[eqn: n+]▲

★ [eqn: a_n+1 - a_n = d,````a_n - a_n+1 = -d]

★ 등차수열은 계속해서 공차를 더하는 수열

중앙의

두 항의 합

38.  등차수열의 합 ➞ (첫항[eqn: +]끝항)[eqn: ×{항수 over 2}]

★ [eqn: S_n = p`n^2 +qn] : 상수항이 [eqn: 0]

➞ 공차 [eqn: 2p,] 첫째항 [eqn: a_1 =S_1 = p +q]

★ [eqn: S_n ={`n` LEFT { 2a+LEFT ( n-1 RIGHT )`d`` RIGHT }`} over 2]

39.  [eqn: a_n =S_n - S_n-1] [eqn: (n`≥`2`)]

[eqn: `a_1 =S_1]

40.  등비수열 [eqn: a_n = a`r^n-1]

★ [eqn: a_n+1` `÷`` a_n = r]

★ 등비수열은 계속해서 공비를 곱하는 수열

중앙의

두 항의 곱

41.  등비수열의 곱 ➞ [eqn: (]첫항[eqn: ×]끝항[eqn: )^{항수 over 2}]

42.  등비수열의 합

[eqn: S_n = {a(r^n -1)} over{r-1}] 또는 [eqn: {a(1-r^n )} over{1-r}]

➞ ■[eqn: r^n -]■

43.  ①[eqn: a,```b,```c`]가 등차수열 ➞[eqn: 2b=a+c`]

★ [eqn: 2`a_n+1 = a_n + a_n+2]

②[eqn: `a,```b,```c`]가 등비수열 ➞[eqn: b^2 =ac`]

➞[eqn: b=ar,```c=ar^2]

★[eqn: {a_n+1} ^2 = a_n CDOT a_n+2]

44.  [eqn: a_1,```a_2,```a_3,CDOTS`]가 등비수열

[eqn: ⇔``loga_1,```loga_2,```loga_3,CDOTS`]가 등차수열

45.  삼차방정식에서

① 세 근이 등차수열 ➞ 세 근의 합은 [eqn: 3a]

② 세 근이 등비수열

세 근의 합

세 근의 합

[eqn: ar×]

[eqn: (ar`)^3]

46.  [eqn: a_1,```a_2,```a_3,CDOTS`]이 등비수열

➞[eqn: {a_1}^k ,```{a_2}^k,```{a_3}^k ,CDOTS`]도 등비수열

(공비는 [eqn: r^k``])

47.  ① [eqn: a````⇒```a LEFT ( 1+r RIGHT )^n]

② [eqn: S= {{ a` LEFT ( 1+r` RIGHT ) } LEFT { { LEFT ( 1+r` RIGHT ) }^{n }-1`` RIGHT }}over {r } ``]

③  할부금 구하기

[eqn: { a` LEFT { ( 1+r` ) }^{n }-1`` RIGHT }}over {r }=A ( 1+r` ) ^n ``]

④ 연금 일시불로 당겨 받기

[eqn: { a` LEFT { ( 1+r` ) }^{n }-1`` RIGHT }}over {r }× 1 over { ( 1+r` ) ^n ``]

48.  ① [eqn: sum from k=1 to n k = n(n+1) over 2]

★ 짝수의 [eqn: n`]항까지의 합 [eqn: =n(n+1)]

★ 홀수의 [eqn: n`]항까지의 합 [eqn: =n^2]

② [eqn: sum from k=1 to n k^2 = {n(n+1)(2n+1)} over 6]

★ [eqn: sum from k=1 to n k(k+1)][eqn: ={ n(n+1)(n+2) }over3]

③ [eqn: sum from k=1 to n k^3 = left{n(n+1) over 2 right}^2]

④ [eqn: sum from k=1 to n 1 over k(k+1) = n over n+1]

※ [eqn: sum from k=1 to n 1 over k(k+2) = 1 over 2 sum from k=1 to n ( 1 over k - 1 over k+2 )]

★ [eqn: 1 over{ rootn+1 +rootn} = rootn+1 -rootn]

49.  [eqn: sum from k=1 to n log] ➞ [eqn: log](진수들의 곱)

※ [eqn: sum from k=1 to n log {n over n+1}]

※ [eqn: sum from k=2 to n log {(n-1)(n+1)} over n^2}]

50.  멱급수의 합 구하기

① 합을 [eqn: S`]라 놓는다.

② 양변에 공비를 곱하되, 한 칸씩 우측으로...

③ 뺀다.

51.  계차수열을 이용한 원수열의 일반항 구하기

[eqn: a_n = a_1 + (b_1 +b_2 +b_3 + CDOTS +b_n-1 `)]

[eqn: a_n = a_1 + SUM from { {k }=1} to n-1 b_k]

★ 계차수열이 등차수열일 때

[eqn: a_n = a_1 + b_1 (n-1) +d ×{(n-1)(n-2) }over2]

※ [eqn: b_n =a_n+1 -a_n]

52.  [eqn: a_n+1 =a_n +f`(n)]꼴

[eqn: b_n]

※ [eqn: a_n = a_1 + SUM from { {k }=1} to n-1 b_k]

53.  [eqn: a_n+1 =f`(n)`a_n]꼴

➞ [eqn: a_n+1 over a_n =f`(n)`]

★[eqn: a_n =LEFT { ` f`(1)×` f`(2)×` f`(3)×`CDOTS`× f`(n-1)` RIGHT }×a_1]

※[eqn: f`(n)`]이 분수식일 때는 대응을 이용

[eqn: a_n+1 over a_n = n+2 over n+1``⇒``a_n = (n+1)`k]

[eqn: a_1`]으로 구한다.

54.  [eqn: a_n+1 =p`a_n +q`]꼴

➞ 계차수열은 공비가[eqn: p`]인 등비수열                 ★[eqn: b_1 =a_2 -a_1]

※ 극한문제에서는

[eqn: lim from {n-> inf} a_n = X~이면~lim from {n-> inf} a_n+1 = X] 이용

※ 확률+극한문제에서도

[eqn: lim from {n-> inf} p_n = X~이면~lim from {n-> inf} p_n-1 = X] 이용

55.  [eqn: p`a_n+2 +q`a_n+1 +r`a_n `=`0]꼴

([eqn: p+q+r=0])

➞ 계차수열은 공비가[eqn: r over p`]인 등비수열                ★[eqn: b_1 =a_2 -a_1]

※ 극한문제에서는

[eqn: a_n = a_1 + (b_1 +b_2 +b_3 + CDOTS +b_n-1 `)]으로

[eqn: a_n`] 을 구한 다음, [eqn: lim from {n-> inf} a_n]

56.  [eqn: a_n+1 = a_n over {1+⋆a_n}`]꼴

➞ 양변 역수취한다.

➞ 수열 [eqn: LEFT { 1 over a_n RIGHT }`]은 공차가 ★인 등차수열

※[eqn: 1 over a_n =⋆`n+ △]

57.  [eqn: a_n+1 = {a_n} ^k] 꼴

➞ 양변에 [eqn: log`]취한다.

➞ 수열 [eqn: LEFT { log` a_n` RIGHT }`]은 공비가 [eqn: k`]인 등비수열

※[eqn: log` a_n`=LEFT ( log` a_1` RIGHT )×k`^n-1]

58.  수학적귀납법

좌변

[eqn: `＞`](우변)

[eqn: i`)~ n=]가장작은 값일 때 성립

[eqn: ii`)~ n= k`]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: CDOTSCDOTS]

[eqn: n= k+1`]일 때에도 성립

좌변

[eqn: `＞`CDOTS`＞`](우변)

59.  ①[eqn: n CDOT n`!`=`(n+1)`!`-n`!`]

②[eqn: n over {(n+1)`!`}= 1 over {n`!`}- 1 over {(n+1)`!`}]

수열의 극한

60.  [eqn: inf over inf]꼴의 극한

① 분모분자차수가 같을 때 ➞ 최고차항 계수

② 지수함수 ➞ |밑|이 가장 큰 항만 계산

(예)[eqn: lim from {n-> inf} { 3^n -(-4)^n} over { 2^n +(-4)^n} = -1]

※ [eqn: 2^n``5^n `]의 양의 약수의 총합공식

[eqn: (1+2+2^2 +CDOTS+2^n `)(1+5+5^2 +CDOTS+5^n `)]

61.  [eqn: inf - inf`]꼴의 극한

➞분모를 [eqn: 1`]로 놓고, 분자유리화 ➞[eqn: inf over inf]   ※[eqn: lim from {n-> inf} `]일 때 [eqn: (`n`＞0`)]

[eqn: sqrt{4n^2 }=2n,``` sqrt{9n^2 }=3n,``` sqrt{5n^2 }={root5}n,```CDOTS]

★[eqn: lim from {n-> inf} left( sqrt{n^2 + an} ``- sqrt{n^2 + bn} right)]

[eqn: = a over2 - b over2]

★[eqn: lim from {n-> inf} left( sqrt{n^2 + an} ``- n right)]

[eqn: = a over2]

※

[eqn: lim from {n-> inf} LEFT { log`f`(n)`-log`g`(n)`RIGHT }=lim from {n-> inf} log`{f`(n)} over { g`(n)}]

※[eqn: lim from{ n->inf }na_n = 3`]일 때 [eqn: lim from{ n->inf }(2n-1)a_n =6]

[eqn: lim from {n-> inf} (3n^2 + n+1) a_n =6`` ⇒][eqn: lim from {n-> inf} n^2 a_n`=2]

62.  [eqn: a_n `＜`b_n` ＜`c_n]

➞[eqn: lim from{ n->inf }a_n`` `≦`lim from{ n->inf } b_n ```≦`lim from{ n->inf }c_n]

예)[eqn: {2n-1} over {n+1}`＜` a_n ``＜` 2n+1 over {n+1}]일 때,

[eqn: lim from{ n->inf }a_n =2]

63.  [eqn: a_1 +a_2 +a_3 + CDOTS= SUM from { {n}=1} to inf a_n`= lim from { n -> inf } S_n]이

수렴 ➞[eqn: lim from { n -> inf } a_n =0]          [eqn: 0]

예) [eqn: sum from n=1 to inf (`3-a_n` )=상수``⇒][eqn: lim from { n -> inf } a_n =3]    ★주의 : [eqn: lim from { n -> inf } a_n =0``not ⇒`][eqn: lim from { n -> inf } S_n`] 이 수렴

64.  무한등비수열 수렴➞ [eqn: a=0 ,~-1`＜`r`≦`1]

무한등비급수 수렴➞ [eqn: a=0 ,~-1`＜`r`＜`1]

★[eqn: a +ar +ar^2 + CDOTS= a over {1-r}]

65.  닮음비 [eqn: a``:``b``⇒``] 넓이의 비 [eqn: a`^2``:``b`^2`]

(길이의 비)

※ 공비➞ [eqn: {b`^2``}over {a`^2`}]

66.

[eqn: r+r``']

[eqn: r-r``']

★[eqn: sinθ`= {r-r``'} over{r+r``'}]

[eqn: h={root3 over 2}a]67.

[eqn: a][eqn: a]

[eqn: S={root3 over 4}a^2]

[eqn: a]

68.

[eqn: R```:```r``=``2```:```1]

[eqn: ⋅][eqn: R][eqn: R`^2```:```r`^2``=``4```:```1]

[eqn: r]                        ➞

69.

[eqn: b][eqn: S={1 over2}a`b`sinθ]

[eqn: θ]

[eqn: a]

70.  코사인 제 2법칙

[eqn: ⋆][eqn: β]

[eqn: θ]

[eqn: α]

★[eqn: cosθ`= {α^2 +β^2 -⋆^2} over{2αβ}]

[eqn: r]

[eqn: theta]

[eqn: l=rθ]71.

[eqn: S={1 over2}rl``````#={1 over2}r^2 θ]

72.

[eqn: l]

[eqn: l``sinθ]

[eqn: θ]

[eqn: l``cosθ]

73. [eqn: sin `nπ=0~~⇒~~cos `nπ=(-1)^n]

[eqn: cos `{(홀수)π} over 2 =0]

[eqn: sin `{(홀수)π} over 2 =-1~ 또는 ~1]

순열과 조합

74. [eqn: n`]명이 일렬로 서는 방법의 수 ➞[eqn: n`!]

(=자리바꿈)

★[eqn: n`]명에서 [eqn: r`]명을 뽑아 일렬로 세우는

방법의 수 ➞[eqn: `_n` P_ r]

75.  남자 [eqn: 5`]명, 여자 [eqn: 3`]명이 일렬로 설 때

① 여자끼리 이웃 ➞ [eqn: 6`!`×`3`!]

② 여자끼리는 이웃하지 않도록

➞[eqn: 5`!`×``_6` P_ 3]

③ 양끝 모두 여자가 오도록

➞[eqn: `_3` P_ 2``×``6`!`]

76.  남자 [eqn: 4`]명, 여자 [eqn: 4`]명이 일렬로 설 때

남녀교대로 ➞ [eqn: 4`!`×`4`!`×`2]

77.  같은 것들이 포함된 경우의 순열

[eqn: a,~a,~a,~b,~b,~c`] ➞ [eqn: {6`!`} over {`3`!`×`2`!`}]

[eqn: ⋅][eqn: A][eqn: B][eqn: C][eqn: A```⇒```B`````#{11`!`} over {`6`!`×`5`!}]      ※ 도로망

[eqn: ⋆`````A```⇒```C```⇒```B````````````#{7`!`} over {`4`!`×`3`!}×{4`!`} over {`2`!`×`2`!}]

78.  원순열

① [eqn: 4`]쌍의 부부가 원탁에 앉을 때 부부끼리           이웃 ➞ [eqn: 3`!`×`(`2`!`×`2`!`×`2`!`×`2`!`)]

② 남녀 각각 [eqn: 4`]명씩이 원탁에 앉을 때

남녀 교대로 ➞[eqn: 3`!`×`4`!`]

③ 부모와 [eqn: 4`]자녀가 원탁에 둘러 앉을 때

부모가 마주보는 경우의 수➞[eqn: `4`!`]

④ 부모와 [eqn: 4`]자녀가 원탁에 둘러 앉을 때

부모가 나란히 앉는 경우의 수➞[eqn: 2`×`4`!`]

79.  중복순열

① [eqn: 3`]가지 색의 깃발을 사용하여 [eqn: 5`]번 드는

것으로 신호를 정할 때 ➞[eqn: 3^5]

② [eqn: 1,```2,```3,```4,```5`]를 써서 만들 수 있는

[eqn: 3`]자리 정수 ➞[eqn: 5^3]

80.  조합 : 뽑는 방법의 수

① [eqn: `_n C_r = { `_n P_r} over {r! }]

② [eqn: `_100 C_95 = `_100 C_5]   ★[eqn: `_n C_n = `_n C_0 =`1]

③ [eqn: `_n C_1 = `n]

※ [eqn: `_5 C_3 = `_5 C_2 =`10,~`_7 C_3 = `_7 C_4 =`35]

81.  남자 [eqn: 7`]명, 여자 [eqn: 5`]명에서 [eqn: 3`]명을 뽑을 때,

적어도 남녀 [eqn: 1`]명씩이 포함되는 경우의 수

➞[eqn: `_12 C_3 -( `_7 C_3 + `_5 C_3`)]

82.  함수의 개수

[eqn: f]

X

Y

[eqn: 1][eqn: 1]                                함수의 개수 ➞ [eqn: 5^3]

[eqn: 2]                                일대일함수의 개수

[eqn: 3][eqn: 2]                                ➞[eqn: `_5` P_ 3]

[eqn: 4][eqn: 3]

[eqn: 5]

★[eqn: f`(1) `＜`f`(2) `＜`f`(3) `]인 함수 [eqn: f`]의 개수

➞[eqn: `_5` C_ 3]

★[eqn: x ``＜`f`(x) `]인 함수 [eqn: f`]의 개수

➞[eqn: `4`×`3`×`2]

83.  조(Group) 나누기 12명

① [eqn: 12`]명을 [eqn: 5,```4,```3`]명으로 나누기

➞ [eqn: `_12` C_ 5`×``_7` C_ 4`×``_3` C_ 3`]

② [eqn: 11`]명을 [eqn: 4,```4,```3`]명으로 나누기

➞ [eqn: {`_11` C_ 4`×``_7` C_ 4`×``_3` C_ 3`} over { 2`!}]

③ [eqn: 15`]명을 [eqn: 5,```5,```5`]명으로 나누기

➞ [eqn: {`_15` C_ 5`×``_10` C_ 5`×``_5` C_ 5`} over { 3`!}]

84.  이항정리

[eqn: {(■+▲) }^n]

[eqn: = SUM from { { r}=0} to n { }_n C_r { ■ }^r ▲ ^n-r ``][eqn: ={(■+▲) }^{n }]

(예)[eqn: sum from r=0 to 10`` ""_10 C_r ````({3 over 2})^10-r ``({1 over 2})^r =LEFT ( {3 over2}+{1 over2} RIGHT )^10]

★[eqn: (`1+▲) ^n ~~⇒~~_n `` C`_r`````▲^r]

85.  이항계수

[eqn: (`1+x`) ^n]

[eqn: =_n ` C`_0 +_n ` C`_1`````x+_n ` C`_2`````x^2 + CDOTS+_n ` C`_n`````x^n]

①[eqn: ` _n `` C`_0 +_n `` C`_1``+_n `` C`_2`` + CDOTS+_n `` C`_n``=``2^n]

② 전반부의 합 [eqn: =] 후반부의 합[eqn: =``2^n-1]

(예) [eqn: ` _49 ` C`_25 +_49 ` C`_26``+ CDOTS+_49 ` C`_49``=``2^48]

③ [eqn: ` _n ` C`_0 +_n ` C`_2``+_n ` C`_4`` + CDOTS `=2^n-1]

[eqn: ` _n ` C`_1 +_n ` C`_3``+_n ` C`_5`` + CDOTS `=2^n-1]

86.  파스칼의 ▲

[eqn: ` _n ` C`_r +_n ` C`_r+1``=_n+1 ` C`_r+1]

큰것

(예) [eqn: ` _2 `` C`_0 +_3 `` C`_1``+_4 `` C`_2`` + CDOTS+_10 `` C`_8``=``_11 `` C`_8]

[eqn: ` _2 `` C`_2 +_3 `` C`_2``+_4 `` C`_2`` + CDOTS+_10 `` C`_2``=``_11 `` C`_3]

확률과 통계

87.  조건부 확률

➞[eqn: P(A`|B) = {P(A inter B)} over P(B)]

★[eqn: A,```B`]가 독립이면,

[eqn: P`(A`|`B`) = P`(A`|`B^c` ) =P`(A`)]

88. [eqn: P`(A union B) = P`(A)+P`(B)-P`(A inter B)]

① [eqn: A,```B`]가 배반

➞ [eqn: P`(A union B) = P`(A)+P`(B)]

② [eqn: A,```B`]가 독립

➞ [eqn: P`(A cap B) =P`(A)×P`(B)]

★ [eqn: P`(A union B) = P`(A)+P`(B)-P`(A)P`(B)]

★[eqn: A,```B`]가 독립이면

➞ [eqn: A^c ,```B^c`]도 [eqn: A ,```B^c`]도 [eqn: A^c ,```B`]도

서로 독립이 된다.

※ [eqn: P`(A^c cap B^c`) =P`(A^c`)×P`(B^c`)]

89.  비      비 : [eqn: p]

[eqn: ×] : [eqn: 1-p]

맑      맑 : [eqn: q]

[eqn: ×] : [eqn: 1-q]

※ 제[eqn: n`]일에 비가 올 확률을 [eqn: P_n`]이라 하면,

[eqn: P_n`=P_n-1`×`p`+(1-P_n-1`)`×`(1-q)`]

[eqn: ⇒````P_n`=α`P_n-1`+`β]

90.  확률분포표와 평균, 분산, 표준편차

[eqn: X]	[eqn: 0] [eqn: 1] [eqn: 2] [eqn: 3]
[eqn: P(X)]	[eqn: 1over6] [eqn: 2over6] [eqn: 2over6] [eqn: 1over6]

합[eqn: =1]

① [eqn: E`(X)=SUMXP=m]

※[eqn: E`(X^2`)=SUMX^2 P]

② [eqn: V`(X)=E`(X^2`)-m^2 =σ^2]

※[eqn: E`(X^2`)=m^2 +σ^2]

③ [eqn: σ= root {V`(X`)}]

91.  ① [eqn: E`(aX+b)=aE(X)+b]

② [eqn: V`(aX+b)=a^2 V(X)]

③ [eqn: σ`(aX+b)=|`a`|` σ(X)]

92.  확률밀도함수           [eqn: f(x)= k x``````[α,```β]]

[eqn: X]

넓이=1

[eqn: P`(a`≦`X`≦`b)]

[eqn: α]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: β]

93.  정규분포 [eqn: X````→````N`(m,```σ^2 )]

★ 표준화된 확률변수 [eqn: Z={X-m} over σ]

[eqn: P`(1`≦`Z`≦`2)]

[eqn: Z][eqn: 0][eqn: 1][eqn: 2]

[eqn: z]	[eqn: P(0≦Z≦z)]
1.0 1.5 2.0	0.3413 0.4332 0.4772

※[eqn: P(Z≧2)=0.5-P(0≦Z≦2)=0.0228]

[eqn: P(|Z|≦1)=2`P(0≦Z≦1)=0.6826]

94.  독립시행의 확률과 이항분포

[eqn: P`(X=r)=`_n C_r ```p^r `q^n-r ~(q=1-p)]

★[eqn: X````→````B`(n,```p )```````q]

[eqn: m=np,~σ^2 =npq]

★ 라프라스정리 [eqn: B`(n,```p )```⇒```N`(m,```σ^2 )]

95.  사람수 [eqn: =] 전체인원[eqn: ×] 비율(확률)

※[eqn: 합격률= {합격자수} over {응시자수}]

[eqn: Z][eqn: 0]

[eqn: m##σ^2]96.              크기[eqn: n]  표본평균([eqn: bar {X``}])

X

[eqn: bar {X_1`}]  ★[eqn: E`({bar X})=m]

[eqn: bar {X_2`}]  ★[eqn: V`({bar X})= σ^2 over n]

[eqn: ⋅#⋅#⋅][eqn: ⋅#⋅#⋅]                        [eqn: bar {X_3`}]  ★[eqn: σ`({bar X})= σ over rootn]

[eqn: ⋆~Z={bar {X}-m} over{ σ over rootn}]

[eqn: m##σ^2]97.              크기[eqn: n]  표본평균([eqn: bar {X``}])

X

[eqn: m]

[eqn: {bar X}- k `σ over rootn]    [eqn: {bar X}]     [eqn: {bar X}+ k `σ over rootn]

★ 신뢰구간의 길이➞ [eqn: 2 k `σ over rootn]

★ [eqn: |`m-{ barX`}`|`]의 최대값➞ [eqn: k `σ over rootn]

※ 신뢰도 [eqn: 95%]일 때 [eqn: k =1.96]

신뢰도 [eqn: 99%]일 때 [eqn: k =2.58]